¿Y si nadie gana? El curioso caso de la probabilidad de que nadie gane el concurso de transferencias de Fintual

Hace algunas semanas en Chile, Fintual apareció en la misma “lista de bancos” a los que puedes transferir directamente desde tu banco. Esto es posible porque nos conectamos directamente al sistema de transferencias bancarias de Chile, gracias a la licencia como Emisor de Tarjetas de Prepago con Provisión de Fondos (regulada por la CMF).

La idea era que nuestros clientes dejaran de transferir a la cuenta recaudadora de un banco externo, y en cambio usaran una cuenta recaudadora exclusiva y personalizada en Fintual. Eso tiene varias ventajas: más seguridad, menos errores, procesamiento instantáneo, y una mejor experiencia en general.

Desde la semana pasada, alrededor del 50% de las miles de transferencias diarias que llegan a Fintual lo hacen a través de este sistema. Estamos felices por la rápida adopción, pero queremos que lo usen todos, no solo la mitad: el 100%.

Así que nos tocó ponernos creativos: ¿cómo hacer para que mucha más gente (idealmente el 100% de los clientes actuales) tenga un incentivo extra para usarlo y ver lo bien que funciona?

Y se nos ocurrió un concurso: si haces una transferencia con el monto más bajo y único, te puedes ganar un mes de sueldo para ver el mundial. No necesitas invertir en Fintual, solo crear tu cuenta –o usar la tuya que ya tenías– y probar cómo funciona esta nueva forma de transferirnos.

Acá pueden ver el concurso si les interesa: fintual.cl/mundial

Ya, pero, ¿cuál es la probabilidad de que nadie gane este concurso?

Puede sonar raro, pero sí: existe la posibilidad de que nadie se lleve el premio. ¿Cómo? Porque para ganar, tu monto debe ser el más bajo y que nadie más lo haya elegido.

Si más de una persona elige el mismo monto más bajo… se anulan entre ellas. No hay ganador.

Y como en Fintual no somos de tirar concursos al azar sin pensar, nos pusimos a hacer el ejercicio matemático.

El “mínimo único”: un problema de teoría de juegos

Este tipo de juegos tiene nombre en probabilidades y teoría de juegos, o en inglés Lowest Unique Positive Integer (LUPI): el juego del mínimo único (esto lo aprendí hoy en todo caso). Tiene todo lo que le apasionaría a un especialista en teoría de juego… o simplemente a alguien que le gustan los desafíos: estrategia, azar, comportamiento humano, números, etc.

Supongamos que hay 1.000 personas participando. Cada una elige un número entre, por ejemplo, $1 y $1.000 (mil pesos chilenos). ¿Qué tan probable es que nadie elija un monto único?

Aunque suene contraintuitivo, esa probabilidad no es super baja. Si todos eligen al azar, hay una chance muy baja pero real de que se repitan montos, y que el monto más bajo no sea único. Y cuando tienes más de muchos participantes y un rango acotado de montos posibles (como de $1 a $1000), hay más probabilidad de que nadie gane.

Por otro lado, si ese rango fuera mucho más grande, digamos de $1 a $7.000.000, se ve muchísimo más probable que haya un ganador, salvo que hayan muchísimas transferencias. Y Fintual tiene cientos de miles de usuarios que pueden probar con un número infinito de transferencias.

Entonces, ¿cuáles son las chances de que no haya ganadores?

Vamos a estudiar el problema en más detalle.

En la práctica, no elegimos al azar

El factor humano cambia todo. En vez de elegir un número completamente al azar, tendemos a elegir números “raros”, montos que creemos que nadie más va a elegir. Y eso hace que el resultado sea mucho menos predecible.

Algunos podrían pensar: “voy a poner $103, porque nadie más lo pensaría”. Pero justo 20 personas pensaron igual. Lo mismo con el $1.

Esto se pone aún más complejo al revelar información a los participantes del juego, ya que diariamente publicamos una lista con todos los números descartados en el concurso. ¿Qué estrategias nuevas van a usar para tratar de ganar?

De hecho, hay varios intentos de estrategias:

Y lo mejor (o peor): no puedes saber qué monto es el más bajo único hasta que termina el concurso.

Entonces, ¿vale la pena participar?

Sí, y mucho. Porque:

1. Solo necesitas probar la nueva cuenta recaudadora Fintual transfiriendo. Después de eso, puedes hacer lo que quieras con el monto que depositaste.
2. Puedes ganar un mes de sueldo ($3.000.000).
3. Asumiendo un modelo simple, la probabilidad de que alguien gane el concurso es MUY alta, como veremos a continuación.

Y lo más importante: si participas, conoces cómo funciona esta nueva forma de transferir a Fintual, que es más rápida, más simple y más segura. Incluso si no ganas el concurso, ganas eso. (Eso último fue mi aviso comercial).

Y entonces, ¿cuál es la probabilidad de que nadie gane el concurso de transferencias a Fintual?

Supongamos que el monto de transferencia es un número aleatorio entre $1 y $7.000.000 (el límite de transferencias electrónicas en Chile). Y que estos montos de cada transferencia se distribuyen uniformemente en ese rango, y son independientes entre sí. Ya sabemos que no es así en la práctica (las personas tienden a elegir ciertos montos “especiales”, o simplemente depositan porque son montos usuales de uso de su app), pero hagamos esa suposición para poder estimar una probabilidad.

Entonces, lo que queremos saber es:

Si se eligen al azar N números (representando a los montos de las N transferencias) entre 1 y 7 millones, ¿cuál es la probabilidad de que NADIE haya elegido un monto único?

Este problema fue analizado a fondo (sí, con ecuaciones y todo).

Vamos con los cálculos: llamemos M = el máximo de montos posibles (7 millones). Sólo como un ejercicio conceptual, tomemos un número i cualquiera, por ejemplo, el número i = 42. La probabilidad de que alguien transfiera $42 es 1/M.

Al repetirse las transferencias, se cumple con las condiciones clásicas para modelarse con una distribución binomial: hay un número fijo de ensayos N (es decir, el total de transferencias efectuadas N), cada intento tiene solo dos posibles resultados (que se seleccione un monto específico $42 o no), la probabilidad de éxito en cada selección es constante y vale p = 1/M, y los montos son independientes entre sí (un supuesto aproximado, no real).

Esto se puede argumentar para un número cualquiera de 1 a 7 millones. Así que la probabilidad de que un monto cualquiera se repita k veces es, según la fórmula de la binomial:

Es decir, podemos calcular la interesante probabilidad de que un monto cualquiera se repite solo una vez:

Cuando M es mucho mayor que N, la probabilidad de que un monto se repita exactamente una vez es muy baja, principalmente porque el primer factor de la expresión, N/M, parte siendo muy pequeño. Por otro lado, cuando N es grande, el segundo factor, dado que está elevado a la N menos 1, también tiende rápidamente a cero, porque decrece de forma exponencial. Esta probabilidad alcanza su valor máximo cuando N es igual a M, y en ese caso vale aproximadamente 1/e, o sea, aproximadamente 0,36787.

Con eso, podemos calcular el valor esperado del número de montos únicos (es decir, montos que aparecen exactamente una vez) para distintos niveles de N. Esa esperanza está dada por la expresión:

Aquí se muestra el gráfico del número esperado de “montos únicos”. Mientras mayor sea ese número, mayor es la probabilidad de que exista al menos un ganador.

Como se puede ver en el gráfico, se espera una cantidad considerable de “montos únicos”, lo que implica que la probabilidad de que nadie gane el premio es muy baja. Para que el número esperado de “montos únicos” se acerque a cero, el número de transferencias tendría que ser extremadamente alto (del orden de cientos de millones), algo muy poco probable en la práctica.

Para estimar la probabilidad de que no haya ningún ganador, voy a usar una aproximación inspirada en el Teorema de Chen-Stein. No es un enfoque completamente formal (principalmente porque el evento “ser un monto único en la posición i” no es claramente débilmente independiente de otros montos, y porque no estamos verificando condiciones de convergencia necesarias del teorema), pero sirve como una aproximación razonable, más “ingenieril” que matemática.

La idea es la siguiente: usando la lógica del Teorema de Chen-Stein, se puede aproximar la cantidad total de “montos únicos” con una distribución de Poisson de media = M × λ exp(-λ), con λ = N/M.

Esto nos permite concluir que la probabilidad de que no haya ningún ganador corresponde al caso en que no exista ningún “monto único”: es decir, cuando la variable de Poisson definida anteriormente toma el valor cero. Esa probabilidad se calcula así:

Si uno grafica esta probabilidad, se puede ver que recién comienza a ser visiblemente mayor que cero cuando se asumen más de 120 millones de transferencias. Algo así como que cada chileno con cuenta de banco transfirió 8 veces al concurso: no es imposible (y sería un gran triunfo del concurso), pero está lejos de la realidad. 

En resumen: ¿es probable que nadie gane? No, en la práctica es MUY poco probable que nadie gane, salvo que hayan centenas de millones de transferencias (de forma que dejen de haber “montos únicos” por exceso de número de transferencias).

Con unos pocos cientos de miles de participantes, lo más probable es que sí exista un monto único mínimo.

Así que está todo pensado para que exista un ganador.

¿Y qué pasa si nadie gana?

No te preocupes. Si en el extremadamente poco probable evento de que no hay ganador en una ronda, repetimos el concurso. Porque si algo nos gusta más que hacer un concurso entretenido, es que alguien realmente se gane ese mes de sueldo para ver el mundial (usando la nueva cuenta de Fintual para transferir eso sí).