El caso de la conjetura jacobiana es sorprendente por muchas razones. Primero, porque es relativamente simple de entender: en una dimensión, si una función tiene derivada siempre positiva, entonces es estrictamente creciente y, por lo tanto, tiene inversa sobre su imagen. Pero en más de una dimensión ese criterio deja de funcionar globalmente. El teorema usual de la función inversa sólo da garantías locales: si la matriz jacobiana es invertible en un punto, entonces la función es invertible en un entorno de ese punto. Creo que todos quienes hayan hecho un curso de cálculo en varias variables saben más o menos a qué me refiero
Pero pasar de ahí a invertibilidad global es infinitamente más complicado, y para entender el problema las herramientas que le enseñan a uno en la universidad se hacen insuficientes. La conjetura jacobiana dice que hay un caso más 'decente' en donde uno podría recuperar la invertibilidad global basándose en un criterio puntual de invertibilidad del jacobiano, si es que además hay más estructura. La conjetura dice que si la función es un polinomio, y si el determinante jacobiano es constante, entonces la función es invertible.
La conjetura jacobiana fue mencionada por Stephen Smale en 1998 (medallista Fields, experto en análisis) como uno de los problemas no resueltos más importantes. Entre otros problemas similares se encuentran la hipótesis de Riemann, la conjetura de Poincaré y la de P=NP. La mayoría se encuentran aún no resueltos.
El empleado de Anthropic, Levent Alpöge, posteó en Twitter el domingo que usando Fable logró resolver la conjetura mientras se jugaba la final del mundial.
hello there the jacobian conjecture is false thanx to my close friend akhil for asking about it and my other close friend fable for working during the world cup final
— levent (@__alpoge__) July 20, 2026
((1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy), y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy), 2 x - 3 x^2 y - x^3 z): \C^3\to \C^3,…
Incluso en un comentario incluyó un link de WolframAlpha,
Probablemente hay un poco de síndrome del impostor ahí porque Alpöge no es un usuario naive, es un matemático (PhD en Princeton) que lleva años trabajando en problemas de geometría algebraica y además fue junior fellow de la Harvard Society of Fellows.
Aun así, la resolvió, y eso es otro aspecto que diferencia este problema de otros: él encontró un polinomio que tiene jacobiano constante e invertible, y que no puede ser invertible porque hay tres puntos cuya evaluación es la misma (es decir, la función no es inyectiva). En este caso, uno puede verificar a mano que lo que dice es cierto, no es necesario esperar la revisión del paper por una de las 10 personas en el mundo que entiende el problema.
Eso permitió que el hallazgo se viralizara rápidamente y que comenzaran a circular otros candidatos a contraejemplo, variantes y consecuencias relacionadas, que todavía están siendo revisados.
Sin embargo, incluso dentro de la conjetura quedan otras preguntas pendientes. Su ejemplo es en dimensión tres, donde la conjetura resultó ser falsa. Sabemos que en dimensión 1 es cierta. No sabemos aún qué pasa en dimensión 2.
Uno puede preguntarse "si es tan simple", entonces, ¿por qué a nadie se le ocurrió? La razón es que incluso en polinomios en dimensión 3, si uno quisiera hacerlo a fuerza bruta tomaría infinito. Por alguna razón que desconozco, Fable fue capaz de bypasear ese proceso de hacer fuerza bruta y dar con el contraejemplo. No sé en qué medida esto es algo completamente 'black box' o si la resolución de la conjetura está dando un insumo nuevo a quienes trabajan en esa área.
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