Hace unos 6 meses, te contamos que se estaba usando la IA como “cerebro” para resolver algunos problemas abiertos matemáticos, es decir, enunciados que aún no se demostraban si eran ciertos o falsos. Los problemas que se estaban resolviendo en ese entonces eran problemas “simples”, que formaban parte de los problemas de Erdős. Pequeños desafíos que fue dejando Paul Erdős para las futuras generaciones de matemáticos.
En ese mismo artículo hablamos de el grupo de problemas abiertos más famosos en la matemática planteados el 2000, los Problemas del Milenio, que cuentan con un premio de un millón de dólares por resolverlos y hasta el momento solo se había resuelto uno, la conjetura de Poincare resuelta por el ruso Grigori Perelman.
Terminamos ese post con la siguiente frase: “quizás el próximo ganador de un millón de dólares sean un grupo de personas”, refiriéndonos a la posibilidad de resolver algunos de estos problemas con IA, algo que que se sentía como una apuesta a varios años. Nos equivocamos en el plazo: seis meses después, el candidato no es un grupo de personas, son 10.000 agentes de OpenAI corriendo en paralelo durante 88 horas y con un costo aproximado en tokens de 23 millones de dólares.
El 8 de septiembre, OpenAI anunció que habría resuelto uno de los problemas del milenio, las ecuaciones de Navier-Stokes. Estas ecuaciones diferenciales, que describen cómo se mueven los fluidos, llevan casi 90 años con una pregunta abierta: ¿Puede una solución a esta ecuación, que empieza siendo suave, volverse singular y “explotar” en tiempo finito? OpenAI dice haber encontrado justamente un ejemplo de esta afirmación: un fluido que parte suave y que siguiendo la dinámica de la ecuación alcanza una velocidad infinita en un tiempo finito.
Este anunció causó gran polémica en la comunidad matemática más allá de las implicancias que tiene que las ecuaciones de Navier-Stokes no modelen 100% correctamente el comportamiento de los fluidos: la “teleserie” que se armó fue por el uso de IA para resolverlo y cómo deja esto a la comunidad de matemáticos.
Pero primero, ¿qué es Navier-Stokes?
Para entender realmente qué significa este anuncio, conversamos con Claudio Muñoz, académico del Departamento de Ingeniería Matemática de la Universidad de Chile, Investigador Principal del Centro de Modelamiento Matemático y primer chileno en ganar el Premio Ramanujan (el premio internacional más prestigioso que se entrega una vez al año a jóvenes matemáticos menores de 45 años). Claudio ha dedicado su carrera al estudio de ecuaciones diferenciales parciales, el mismo campo donde viven las ecuaciones de Navier-Stokes.
De hecho Claudio ha resuelto problemas abiertos en esta área, en 2016 junto a Michał Kowalczyk y Yvan Martel lograron resolver un problema que llevaba casi 40 años sin solución. Que cierta solución de una ecuación diferencial parcial, llamada kink, recupera su forma original después de ser perturbada.
Sobre la ecuación de Navier-Stokes Claudio nos dice que “Son consideradas las ecuaciones canónicas para modelar fluidos como el agua, el mar, parte del clima, etc. Se caracterizan por ser extremadamente complicadas de modelar computacionalmente, pero al mismo tiempo extremadamente útiles en representar la realidad.” Estas ecuaciones llevan el nombre de las dos personas que ayudaron a formularlas, primero el ingeniero Claude-Louis Navier (irónico nombre) que en 1822 tomó las ecuaciones de Euler y derivó la ecuación, pero por un razonamiento físico equivocado. Veinte años después, George Stokes volvió a derivarlas pero esta vez con la física correcta.
Como nos explica Muñoz, el desafío consiste en decidir si, “dada una configuración inicial del fluido suficientemente buena, ésta permanece para todo tiempo posterior, y no se producen ‘’explosiones’’ de fluido. Aunque simple de establecer, es extremadamente complicado porque combina dos ingredientes opuestos: el hecho que la viscosidad (al ser una medida del roce) tiende a relajar la solución, pero por otro lado todos los fluidos poseen un comportamiento no lineal muy potente que tiende a provocar la turbulencia que vemos.” Es decir, el problema se basa en la interrogante de si las ecuaciones logran representar de forma fidedigna la realidad, o si existe algún caso, por extremo que sea, donde se “rompen” y empiezan a describir algo físicamente imposible, como un fluido con velocidad infinita.
Hasta acá el anuncio suena a buena noticia y honestamente cuando pensaba hace años cómo iba a ser el día que se resolviera algunos de estos problemas, primero asumía que no me iba a tocar vivirlo. Y si llegaba a pasar, me imaginaba una celebración. Pero la realidad fue completamente lo contrario: una pelea pública entre empresas y personas sobre quién llegó primero a la solución y un cuestionamiento de los nombres más importantes de la comunidad matemática.
El chisme: ¿quién resolvió realmente el problema?
Todo parte con Tristan Buckmaster, un académico Australiano de la NYU, que llevaba años trabajando en una línea de investigación similar a la que después usaría OpenAI para enfrentar el problema de Navier-Stokes. La línea es básicamente buscar singularidades, y seguía el proyecto desarrollado desde hace algunos años por Diego Córdoba y Luis Martínez-Zoroa, matemáticos españoles. Es decir, construir un ejemplo específico que satisfaga inicialmente la ecuación, pero luego se rompa, en vez de demostrar que una solución a la ecuación nunca se rompe.
Buckmaster estaba trabajando en conjunto a Levent Alpöge, otro académico que además trabaja en Anthropic (ya te imaginas por dónde viene el drama). Ellos habrían llegado a una solución que explotaba para la ecuación de Euler, una versión simplificada de la ecuación de Navier-Stokes que excluye el término de difusión viscosa y se podría decir que era el paso previo para acercarnos a una respuesta a la interrogante de Navier-Stokes. Lograron verificar formalmente la solución el 22 de Agosto usando Lean, un lenguaje de programación diseñado para comprobar lógicamente las demostraciones matemáticas.
Sobre esta verificación, Claudio explica que “se verifique con Lean y arroje que está correcto no significa necesariamente que la demostración está correcta, sólo que verifica que lo que se introdujo a Lean está correcto. Falta verificar que lo que se introdujo corresponde fidedignamente a lo que está en el artículo oficial, y eso no es fácil, porque programar una demostración completa de más de 150 páginas requiere mucho esfuerzo. Lo más probable es que ese traspaso también haya sido realizado con una IA.”El 1 de septiembre OpenAI escucha rumores de que dos problemas del milenio habían sido resueltos y que además los modelos de Anthropic tenían algo que ver. Ahí el FOMO hizo lo suyo y ese mismo día OpenAI se volcó a atacar el problema.
El primer resultado llegó por el lado de la ecuación de Euler, la misma en que Buckmaster y Alpöge habían encontrado una singularidad: para eso usaron unos 100 agentes y les tomó 50 horas. Esto los convenció de ir directamente a Navier-Stokes. Después de 88 horas y 10.000 agentes trabajando en paralelo, el sábado 5 ya tenían un resultado, que 17 horas más tarde ya estaba verificado en Lean. Se estima que el costo en tokens fue en torno a 23 millones de dólares.
Pero acá viene lo más polémico: el 3 de Septiembre Buckmaster se entera de que OpenAI había oído la existencia de su trabajo, él mismo los contacta para avisarles que ya estaban prácticamente listos para publicarlo. Pero tres días después, Sébastien Bubeck, un investigador de OpenAI, lo llama de vuelta con una mala noticia.Ahí el investigador de OpenAi le cuenta que ya tienen una demostración completa, no solo de la ecuación de Euler, si no de Navier-Stokes, siguiendo la misma ruta que él venía siguiendo por años.
Y le ofrecen dos salidas.
La primera: que Buckmaster y Alpöge publicaran su resultado de Euler, y OpenAI publicara Navier–Stokes al día siguiente, con una nota reconociéndolos como los humanos que habían llegado más cerca del problema.
Y la segunda, que fue lejos la más polémica, que Buckmaster escribiera el mismo el articulo de Navier-Stokes y que compartiera el credito con OpenAI, pero con una condición: que sacara a Alpöge de los creditos, por trabajar en Anthropic. Finalmente Buckmaster rechazó ambas opciones.
Finalmente todo concluyó con Buckmaster y Alpöge publicando su resultado de Euler el 7 de septiembre y OpenAI lanzando su comunicado el 8 de septiembre, encendiendo la polémica en la comunidad matemática.El detalle más irónico de todo esto, es que Buckmaster y Alpöge hicieron una parte relevante de su trabajo usando Codex, la herramienta de programación de OpenAI. Es decir, cada avance suyo pasó por servidores de la empresa que después publicó el resultado.Según OpenAI ellos no accedieron a datos de usuarios para resolver el problema y dos días después publicaron una investigación interna concluyendo que los prompts de Buckmaster no pudieron influir en su modelo.
Igual, sobre criticar la IA y también usarla, “el que esté libre de pecado que tire la primera piedra” (hasta a mi se me coló una frase redactada con IA en este post que después borré). Muñoz nos recuerda que poner a Buckmaster y Alpöge de héroes anti-IA puede ser un poco forzado. Aquí todos son más grises de lo que parecen.
¿Y ahora qué?
Aunque OpenAI dijo que no va a cobrar el millón de dólares (qué considerados), todavía no está confirmado que la demostración sea aceptada por los académicos. Con respecto a cuándo sabremos esto Claudio Muñoz no quiere apurarse: “No parece simple pues aunque el artículo es público, al tener unas 165 páginas es complicado de comprender en pocos meses. Eso involucra mucho trabajo de parte de distintos actores y por ende, un proceso lento de adecuación por parte de nuestra comunidad.”
Esto ya tiene a varios académicos revisando la demostración de OpenAI. Algunos ya han comentado lo poco legible que es la demostración. Claudio nos comenta que en su opinión “La demostración está todavía incompleta, en el sentido de que no hay nadie que pueda explicarla aún frente a una audiencia y sea convincente” y no es el único que piensa así. Javier Gómez-Serrano, experto en Navier–Stokes de Brown University y coautor habitual de Buckmaster, declaró en una charla la semana pasada que el escrito es incomprensible en su forma actual, y que eso es justamente lo que la comunidad matemática no va a aceptar.
Y la veracidad de la solución no es lo único que preocupa a la comunidad científica. También las implicancias que está teniendo para la investigación este nuevo tipo de demostraciones: el 11 de Septiembre, 25 medallistas Fields, el premio más prestigioso entregado en matemáticas, publicaron una declaración conjunta advirtiendo de una desalineación severa entre los objetivos de las empresas de IA y los de la comunidad matemática.
Esta carta la firmaba incluso el mismísimo Terence Tao, que hace unos meses estaba liderando los esfuerzos de incluir a la IA en el proceso formal de demostraciones, apoyados por Lean.
Su argumento es que el objetivo de estos problemas nunca era simplemente resolverlos, si no que llegar al resultado era señal que alguien había desarrollado ideas nuevas, que luego la comunidad digería durante años. Producir enunciados en masa, podría destruir terreno fértil en vez de dar vida a nuevas ideas.La guinda de la torta es que se creó la Association for Human Mathematics, donde los matemáticos firman el compromiso de no trabajar con empresas de IA y de no publicar investigaciones generadas por IA, ya van 391 miembros que han firmado el compromiso.Al parecer tendremos drama para rato. Ya se especula que podrían haber encontrado soluciones a otros problemas del Milenio. Y en un sorprendente giro del destino, ya existe un mercado de apuestas sobre si OpenAI anuncia otra solución a un problema del milenio, porque la hypergamblification ya llegó a las matemáticas.
Y en esto también hay harta discusión: si la próxima es P versus NP, la cosa se puede poner muy complicada.
