Nuestra intuición acerca del infinito

Siempre me han gustado los problemas y los acertijos. Enfrentarme a un tema que en un principio pareciera no tener una explicación clara (o al menos no una obvia), que te hace pensar y darle vueltas por horas.

Uno de mis favoritos es que el universo es infinito y se está expandiendo. ¿Cómo puede ser infinito?, ¿hacia dónde se está expandiendo si es que es infinito? Son preguntas que a veces de chico les preguntas a tus papás cuando lo escuchaste por primera vez en el colegio y que te quedan mirando con cara de qué está hablando este niño.

Para entenderlo, hay que primero entender qué es el infinito, partamos por el más chico de todos.

Sí, existen infinitos más grandes que otros. El más chico es el infinito numerable (ℵ0). Básicamente, si puedes enumerar todos los elementos de un conjunto en una lista infinita sin saltarte ninguno en el proceso, estamos hablando de un infinito numerable.

Por ejemplo, el conjunto de los números pares, es un infinito numerable, lo podemos poner en una lista así: 2, 4, 6, 8, …, ∞

Acá hay más ejemplos:

  • Números enteros: 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, … , -∞, ∞
  • Números impares: 1, 3, 5, 7, …, ∞
  • Números racionales: 1/1, 2/1, ½, ⅓, 3/1, 4/1, 3/2, ⅔, ¼, …, ∞

Al ver el primer ejemplo, quizás te llamará la atención algo. Pareciera que los números enteros son más que los números naturales, ya que tienes 2 copias de ellos: una positiva y otra negativa. Es ahí donde nuestra intuición nos falla, y por lo que es interesante plantearnos experimentos mentales para entender el concepto del infinito. Veamos un ejemplo.

La paradoja del hotel infinito

La paradoja del hotel infinito (Infinte Hotel Paradox), propuesta por David Hilbert en 1924, es un excelente ejercicio para entender el concepto del infinito.

Imagínate un hotel con infinitas habitaciones y que cada una está ocupada por un huésped. Tanto el número de habitaciones como de huéspedes es numerable. En otras palabras, cada habitación tiene asignado un número natural.

Si tiene infinitas habitaciones y todas están ocupadas por infinitos huéspedes, nuestra intuición nos dice que no hay más espacio dentro del hotel. ¿Qué pasa entonces si llega un nuevo huésped al hotel y nos pide una habitación?

Para que un nuevo huésped tenga lugar dentro del hotel, lo único que tendrías que hacer es pedirle al huésped en la habitación 1 que se mueva a la habitación 2, el huésped en la habitación 2 que se mueva a la habitación 3 y así sucesivamente. O sea, el huésped en la habitación n se mueve a la habitación n + 1. Quedando así la habitación 1 disponible para el nuevo huésped.

¿Y si llegan 100 nuevos huéspedes? Repetimos la misma lógica, solo que el huésped en la habitación n se moverá a la habitación n + 100, quedando 100 habitaciones disponibles para todos los nuevos huéspedes.

Ahora imagina que llega un bus con un infinito numerable de pasajeros al hotel, es decir, un bus donde cada pasajero tiene un número natural único asignado. Tenemos que buscar cómo acomodar a todos los pasajeros y los huéspedes. No es tan simple como mover al huésped desde la habitación n a la n + ∞, ya que no tengo idea cuál es la habitación n + ∞.

Lo que podemos hacer es pedirle al huésped en la habitación n que se mueva a la habitación 2n. De esta forma, todas las habitaciones con un número impar quedarían vacías, dejando suficiente espacio para todos los nuevos huéspedes (ya que existen infinitos números pares e impares).

Lo interesante de esto es concluir que un bus con infinitos pasajeros sumados a los infinitos huéspedes que estaban ya en el hotel infinito, siguen siendo el mismo tipo de infinito. El hotel sigue siendo igual de grande que antes, no tiene más habitaciones y sigue completamente ocupado. O sea:

∞ + ∞ = ∞

Infinitos buses con infinitos pasajeros

Ahora, si un día llega un infinito numerable de buses cada uno con un infinito numerable de pasajeros al hotel, ¿qué hacemos para hospedar a todos sin que crezca el hotel?

Necesitamos encontrar dentro del hotel infinito una habitación para cada pasajero de los infinitos buses con infinitos pasajeros (ya parece trabalenguas, en resumen: son muchos pasajeros en búsqueda de una habitación). Euclides fue el primero en demostrar que existen infinitos números primos, que son números divisibles solo por 1 y por sí mismo. Y esto nos sirve para asignarle a cada pasajero una habitación.

Si tomo un número primo (7) y lo multiplico por sí mismo (otro 7), el resultado (49) es divisible solamente por 1, 7 y 49. Por el teorema fundamental de la aritmética, sabemos que todo número (mayor que 1) se puede expresar como una multiplicación de números primos y esa descomposición es única (Gauss, 1801).

49 = 7 x 7

10 = 2 x 5

4120 = 4 x 1030 = 4 x 10 x 103 = 2 x 2 x 2 x 5 x 103

Con esa idea, lo que tendríamos que hacer es tomar a todos los huéspedes actuales del hotel -no se ha ido nadie de los ejercicios anteriores- y moverlos a la habitación con el número 2 (primer número primo) elevado a n, donde n es su actual número de habitación. De esta forma:

  1. → 2^1 = 2
  2. → 2^2 = 2 x 2 = 4
  3. → 2^3 = 2 x 2 x 2 = 8
  4. → 2^4 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

n.   → 2^n = 2 x 2 x … n veces

Por otro lado, a cada pasajero del primer bus se le asignará la habitación en función del siguiente número primo (3) elevado a n, donde n es el número de su asiento dentro del bus. De esta forma:

  1. → 3^1 = 3
  2. → 3^2 = 3 x 3 = 9
  3. → 3^3 = 3 x 3 x 3 = 27
  4. → 3^4 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81

n.  → 3^n = 3 x 3 x … n veces

Seguimos la misma lógica donde los pasajeros del siguiente bus serán asignados a la habitación múltiplo del siguiente número primo (5) y así sucesivamente para 7, 11, 13, 17, 23, …, n.

Como demostró Gauss, esta manera de asignar a cada huésped y pasajero a una habitación nos asegura que no existe otra combinación de números que lleven a un pasajero a una habitación ya ocupada. Cada persona llega a una habitación que tiene una descomposición en números primos única, todas múltiplo del número primo que le asignamos según el bus en que llegaron. Todos los pasajeros llegarán a una habitación, sin repetirse entre sí.

Te habrás dado cuenta de que muchas habitaciones quedarán vacías (las podemos poner en airbnb). Por ejemplo, 6, ya que no es un número primo y su descomposición en números primos es 6 = 2 x 3.

Descripción de cómo distribuimos a los infinitos huéspedes e infinitos pasajeros de los infinitos buses dentro del hotel infinito

Representación de las habitaciones ocupadas por los huéspedes del hotel y pasajeros de cada bus, tendremos muchos airbnbs.

Conjuntos de infinitos más grandes

Este tipo de ejercicios desafía nuestra intuición sobre algo tan abstracto y lejano a nuestra comprensión como es el infinito. Solo piensa que este es el más chico de los infinitos. Un conjunto aún más grande es el de los números reales.

Imagínate todos los números que existen entre 0 y 1. Si intentas asignar a cada uno de los posibles números entre 0 y 1 a un número entero (condición para que sea un infinito numerable), tendrás un problema: siempre encontrarás un número nuevo que no estaba en tu lista y que no está asociado a un número entero. El argumento de la diagonal de Cantor nos sirve para demostrar que los números reales son más grandes que los números naturales. Esto eso sí, quedará para otro post.

Ahora, como llevar todo lo anterior desde un simple ejercicio mental a la inmensidad del universo, queda para ustedes.

Inspirado en el video de Ted Ed.


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