Respuesta al desafío matemático del ajedrez de dos turnos

Ana y Beatriz jugarán ajedrez pero con una nueva regla especial: las jugadoras mueven 2 veces en cada turno. Comienza Ana con las blancas.

Demuestre que Ana tiene una estrategia para no perder (o sea, podría ganar o empatar), independiente de lo que haga Beatriz.

La respuesta Nebil K es muy completa, hasta mencionó lo del ajedrez marsellés e incluso alcanzó a agregarle algo de humor: 

"Una posible demostración para este desafío podría consistir en utilizar una prueba por contradicción (i.e. reductio ad absurdum) donde el supuesto sería el siguiente: «Las negras, sin importar de las acciones de las blancas, disponen de una estrategia Ω que les garantiza la victoria». Con ese punto de partida, se desarrolla el siguiente razonamiento:

1. Las blancas comienzan. Ana mueve su caballo del flanco dama hacia el centro, para luego retractarse inmediatamente y devolverlo a su casilla inicial. «1. Cc3 & Cb1?!» para los entendidos. [Nota irrelevante: Desconozco si existe una notación algebraica para este tipo de ajedrez; usé & para unir los movimientos.] Lo que inicialmente se asemejaba a la apertura Van Geet, en realidad, terminó siendo una cabalgata inocua, dejando el tablero tal como estaba. Las blancas están, en esencia y pocas palabras, cediendo su turno.
2. Beatriz —levemente desconcertada y quizá un tanto incómoda— debe responder. Tanto ella como nuestro estimado lector notarán algo curioso: dado que el tablero permanece inalterado, las negras estarían asumiendo el rol que habitualmente le corresponde a las blancas. Un comentario que, hoy en día, ya no está muy de moda.
3. Dado nuestro supuesto inicial, si las negras efectivamente tuvieran una forma de ganar, entonces las blancas podrían robar (o en este mundo post-LLM, prefiero decir «aplicar fair use») esta misma estrategia Ω para vencer a las negras, entendiendo que los roles/colores fueron invertidos. Por ello, según el supuesto, las blancas sí serían capaces de ganar.
4. Hemos llegado, entonces, a un absurdo lógico: si ambos bandos pueden asegurar una victoria, el supuesto inicial se vuelve insostenible. Finalmente, dado que Beatriz no puede forzar una victoria, Ana puede, al menos, garantizar un empate. ∎ (QED)

† Existe una variante denominada «ajedrez de Marsella» (o mejor «ajedrez marsellés» para que rime) donde cada jugador cuenta con dos movimientos. La única diferencia —para no otorgarle tanta ventaja a las blancas— reside en que, solamente al inicio, las blancas disponen de un solo movimiento. Me parece interesante anotar esto, ya que esta variante cumple un siglo de vida.

‡ En estricto rigor, esta demostración no es aplicable para el ajedrez convencional, pues aunque se cree que el juego es virtualmente un empate (todavía no está resuelto), podría existir una pequeñísima probabilidad de que las blancas, en teoría, se encuentren en zugzwang. En simple, esto quiere decir que cualquier movimiento blanco empeoraría su posición inicial, posibilitando una victoria para las negras. Al contrario, si se introdujera la regla de «pasar», entonces esta demostración sí podría ser aplicada. Pero bueno, esta variante llevaría a un juego bastante fome, en mi opinión. Espero que no tan fome como esta carta.

Un abrazo,
Nebil"

Felipe M dio con la respuesta correcta y complementó con una explicación práctica muy clara y concisa:

"En términos prácticos: la estrategia de Ana es mover un caballo y luego devolverse a la posición original en el segundo turno, esperar que Beatriz juegue, y copiar sus jugadas (strategy-stealing (Nash)), garantizando así al menos un empate.

🐴"

Y Bernardo A. propuso un desafío nuevo, además de precisar que el juego no es exactamente isoformo al estado inicial, dadas ciertas reglas específicas del ajedrez:

"Notemos primero que, a excepción de quién comienza, el ajedrez es un juego simétrico con respecto a los colores. Ahora, supongamos esperando una contradicción que quien comienza no tiene ninguna estrategía que le permita garantizar un empate o victoria. Por lo tanto, si quien comienza (J1) juega Nf3, Ng1 (haciendo y deshaciendo un movimiento de caballo), entonces quien no comenzó (J2) tiene una estrategia ganadora S comenzando desde la posición inicial del tablero. Dada la simetría del juego notada inicialmente, esa misma estrategia S puede ser utilizada por J1 (invirtiendo cada jugada con respecto a intercambiar la fila i por 9-i), garantizándole la victoria (* detalle en el siguiente párrafo) y por tanto contradiciendo nuestra suposición inicial.

*: Hay, sin embargo, un detalle que requiere cuidado; luego de las jugadas Nf3, Ng1, y siendo el turno de negras, el juego no es exactamente isomorfo al estado inicial dado que existen reglas de no-repetición (un juego se debe declarar empatado si una misma posición se alcanza por quinta vez en una partida, o si 75 movimientos consecutivos no incluyen ninguna captura; más aún, es posible (mas no automático) declarar un empate tras alcanzar una misma posición por tercera vez en una partida, o tras 50 movimientos sin capturas). Los "contadores" de estas reglas son efectivamente parte del estado del juego, y se ven alterados por la secuencia inicial Nf3, Ng1. Afortunadamente, tales reglas solo pueden llevar a un empate, y por tanto no son parte de la estrategia ganadora S (formalmente, no corresponden a ninguna hoja del árbol que describe la estrategia), así que la demostración es efectivamente correcta. Para entender mejor la sutileza, supongamos una variante en que al alcanzar una posición por tercera vez, la jugadora que movió por última vez es declarada vencedora automáticamente. En ese caso, tras Nf3, Ng1, negras puede jugar Nf6, Ng8, alcanzando la posición inicial por tercera vez y por tanto ganando la partida. Tal estrategia (ganadora luego de Nf3, Ng1) no puede ser robada por blancas inicialmente, ya que equivale a jugar exactamente Nf3, Ng1, lo que lleva blancas a la derrota. Esta complicación afortunadamente no aparece dado que las reglas de no-repetición solo llevan a empates...

En caso de que les parezca interesante, propongo el siguiente desafío: consideremos un tablero de 10 x 10 (por ejemplo) que representa zonas de un lago, donde cada una de las 100 celdas se pinta de blanco si es que su zona correspondiente está limpia, y de negro si está contaminada. El proceso de contaminación funciona de la siguiente forma: en la primera ronda, N de las celdas están contaminadas, y luego si en una ronda existe una celda blanca que tiene al menos 2 celdas vecinas negras (son vecinas las celdas inmediatamente arriba, abajo, izquierda y derecha, siempre y cuando sigan dentro de la grilla) entonces esa celda pasa a ser negra en la ronda siguiente. El problema es demostrar que si N < 10, entonces el proceso de contaminación no puede llevar a que todas las 100 celdas acaben contaminadas."