Las matemáticas son conocidas como una ciencia exacta porque en ellas no hay espacio para la ambigüedad. Los enunciados matemáticos solo pueden ser verdaderos o falsos: 2+2 siempre va a ser 4, y eso nunca va a cambiar.
Lo interesante es que, una vez cada cierto tiempo, aparecen afirmaciones matemáticas que resisten todo intento por descifrar su veracidad. A lo largo de la historia han surgido varias de estas incógnitas, problemas que permanecen invictos durante siglos y siglos, sobreviviendo los ataques de todo tipo de intelectuales. Estos problemas se conocen formalmente como problemas abiertos, y son tan difíciles de resolver que solucionar tan solo uno de ellos te podría hacer millonario, literalmente.
Lo que hace a estos problemas tan difíciles es que tienes que demostrar la solución de forma lógica y definitiva, no solo acumular evidencia a favor o en contra. Por ejemplo, hoy en día se considera no resuelta la conjetura de Collatz, a pesar de que ha sido probada empíricamente para números tan grandes como 2⁶⁸ (la tierra existe hace aproximadamente 2⁵⁸ segundos), dado que no ha tenido una demostración formal aún, es decir una prueba usando argumentos lógicos que funcione para los infinitos números posibles. Desde los inicios de la aritmética práctica en el 3000 a.C, han existido varios problemas abiertos, con sus respectivas polémicas, personajes extravagantes y muchas veces premios millonarios.
El troleo más largo de la historia: El último teorema de Fermat
Esta es, sin duda, la “telenovela” más larga y épica en la historia de esta ciencia. Pierre de Fermat era un juez francés apasionado por las matemáticas, que en 1637, al leer la Arithmetica de Diofanto, en la sección donde se habla del Teorema de Pitágoras (a² + b² = c²) escribió en el margen de la página que no existen números enteros positivos (1,2,3,...) a,b,c tal que la ecuación aⁿ + bⁿ = cⁿ tenga solución para n mayores que 2. Por ejemplo, para n=2, 3² + 4² = 5² es una solución, pero según Fermat, para n>3 ya no hay ninguna.
Lo peor vino con el mensaje que dejó debajo de esta afirmación, un mensaje al puro estilo troll digital que torturó por siglos a varios matemáticos que decidieron enfrentarse a este problema. Fermat afirmó en el margen del libro lo siguiente: "He descubierto una demostración verdaderamente maravillosa para este teorema, pero este margen es demasiado estrecho para contenerla" (si claro Fermat, de seguro lo encontraste).
Después de 350 años de sufrimiento, la historia tuvo un final feliz. Andrew Wiles logró demostrar con una publicación de más de 100 páginas que el último teorema de Fermat era cierto, una demostración que de seguro no habría cabido en el margen de la hoja que estaba leyendo.
Los problemas del Milenio
En el año 2000, el Instituto Clay de Matemática, seleccionó 7 problemas que se consideraban los más profundos y difíciles de varias áreas de la matemáticas donde además, para darle emoción, pusieron una recompensa de 1 millón de dólares para la persona que encontrara la solución a alguno de ellos.
Estos incluyen algunos misterios sin resolver con implicancias reales para el mundo como P=NP o la hipótesis de Riemann, los cuales pondrían en riesgo muchos de los protocolos de ciberseguridad existentes.
Desde el inicio del desafío, solo se ha resuelto uno de ellos: la conjetura de Poincare, un problema del área de la topología. Una rama de la matemática que se preocupa de cosas tan emocionantes como que una taza es equivalente a una donut.
Este fue resuelto por una sola persona, Gregori Perelman, un matemático ruso que subió su solución a un portal de internet el 2002. Su publicación tomó más de 3 años en ser verificada, pero sus esfuerzos fueron recompensados: en 2006 se le otorgó la medalla Fields (equivalente al Nobel de las matemáticas) y en 2010 se le reconoció oficialmente como el ganador de 1 millón de dólares por el Instituto Clay. Pero lo más llamativo es que rechazó ambos premios diciendo “No me interesa el dinero ni la fama. No quiero ser exhibido como un animal en un zoológico”. Esto da ecos de Diógenes, un asceta que, cuando Alejandro Magno le preguntó qué quería en esta Tierra para dárselo (así fuera la mitad de su imperio), Diógenes simplemente le pidió que se hiciera un poco a la izquierda porque "le estaba tapando el sol".
Gregori Perelman se retiró de las matemáticas en el 2006, y desde entonces se sabe muy poco de él.
¿La IA puede ser una solución para esto?
Si a un genio le tomó décadas de aislamiento resolver uno de estos problemas ¿Podrá una IA simplemente entregar la respuesta a algunos de estos enigmas?
La complicación surge principalmente en cómo funcionan estos modelos, pues en la práctica, estos se entrenan con datos del pasado (por ejemplo miles de publicaciones matemáticas) y lamentablemente para muchas de estas conjeturas no basta con combinar piezas de un rompecabezas que ya conocemos, sino que es necesario inventar piezas nuevas.
A pesar de esto, la habilidad de los LLMs de recopilar datos históricos junto con lo rápido que mejoran los modelos, han ayudado a probar algunos problemas abiertos, encontrando, por ejemplo, teoremas en una publicación olvidada de los 80’s que podrían ser útiles para resolverlos o proponiendo nuevas caminos para resolverlos que luego son usados exitosamente por matemáticos.
El mejor ejemplo de esto es el esfuerzo conjunto, liderado por Terence Tao (que vino a Chile el 2018) para resolver los famosos Problemas de Erdos de forma cooperativa con ayuda de IA. Pero primero algo de historia: Paul Erdős fue el matemático más prolífico del siglo XX, llegando a publicar más de 1500 papers durante su vida (más de 1 al mes), y es considerado tan influyente que todos los matemáticos lucen orgullosos su número de Erdős, es decir, su grado de separación académico a él (similar al número de Bacon). Erdős propuso más de mil problemas abiertos durante su carrera para motivar a los matemáticos a resolverlos. Actualmente se han resuelto en torno a un 40% de ellos y están recopilados en erdosproblems.com.
Terence Tao, similarmente a Erdős, es considerado el matemático más prolífico del siglo XXI, haciendo aportes en todas las áreas de las matemáticas, e incluso ha resuelto varios de los problemas de Erdős.
Tao, motivado por los avances de la IA, ha empezado un esfuerzo colaborativo por enfrentar los ejercicios de Erdos de forma masiva usando a la IA como herramienta, y que están siendo documentados acá. Por ahora solo 2 han logrado ser resueltos 100% autónomamente por IA, los problemas 652 y 1051, pero muchos más han sido resueltos usando a la IA como ayuda.
A pesar de los resultados alcanzados, el uso de la IA en matemáticas aún es muy polémico, dado que los modelos no necesariamente entienden la lógica matemática y son propensos a cometer errores o inventar axiomas para hacer parecer como que lograron obtener la solución. Es por eso que Tao propone en conjunto a la IA, el uso de Lean, un lenguaje de programación que funciona como asistente de demostraciones, usado para comprobar la veracidad lógica de estas. El problema es que es un lenguaje de programación tedioso para escribir y muchas demostraciones no estan “traducidas” a este lenguaje, pero con la IA este proceso se ha simplificado y se agrega como una herramienta para que los modelos puedan verificar sus soluciones.
Más que solo resolver interrogantes, lo emocionante de esto es un posible cambio de paradigma. Esta ciencia, a pesar de todos sus avances, se sigue enseñando en pizarra de tiza y no ha cambiado su forma de investigarla: sigue siendo principalmente un matemático solitario enfrentándose a una incógnita por años, mientras todas las demás ciencias han pasado a ser cada vez más colaborativas gracias a la tecnología. Por eso este esfuerzo global, impulsado por el internet y los modelos de IA, podría simplificar las dificultades que presenta investigar matemática en conjunto y quién dice, quizás el próximo ganador de un millón de dólares sean un grupo de personas (que ojalá no le hagan el quite a la recompensa monetaria).
Si te gustó leer del apasionante mundo de las matemáticas y quieres aprender más de él te recomendamos los canales de youtube de Derivando, 3blue1brown y Veritasium.
